بررسی اصول جداسازی در فضای ژئودزی های پوچ

در نظریه نسبیت عام‏‏، فضا-زمان به صورت یک منیفلد هموار مجهز به یک متریک لورنسی مدل بندی می شود. یکی از عمده ترین مسائل در این نظریه بررسی تأثیر یک رویداد از فضا-زمان روی رویدادی دیگر از آن است که تحت عنوان "علّیت ‎``‎ به آن پرداخته می شود.‏ بحث در مورد علّیت در فیزیک نیوتنی به دلیل مطلق بودن زمان‏، مسأله ای سرراست است. فضا-زمان توسط سطوحی که شامل وقایع همزمانند برگ بندی می شود و ترتیب حاصل از زمان مط‏لق به برگ های موجود در فضا-زمان‏،‏ ترتیب زمانی می دهد. از این رو‏، بین دو واقعه غیر هم زمان که بر یکدیگر اثر گذارند‏، رویداد علّت آن است که زودتر واقع شده باشد. اما در نظریه نسبیت پاسخ این پرسش کمی پیچیده تر است. دو رویداد در فضا-زمان بر یکدیگر اثر می گذارند‏، اگر بتوان این دو رویداد را توسط یک مسیری که حرکت روی آن با سرعت کمتر یا مساوی سرعت نور میسر باشد‏، به یکدیگر متصل کرد. یافتن مجموعه چنین رویداد هایی برای یک رویداد خاص در فضا-زمان‏، مجموعه های آینده علّی و گذشته علّی آن رویداد را توصیف می کند. علاوه بر این‏، بردار های مماس بر منحنی های واصل میان یک رویداد و رویدادهای مرتبط علّی با آن‏، مخروط نوری را درآن رویداد‎ تعریف می کند. در واقع ساختار علّی فضا-زمان نسبت دادن مخروط های نوری به هر رویداد در فضا-زمان می باشد. منحنی‎ های علّی‏، به عنوان ابزار تشخیص روابط علّی میان نقاط فضا-زمان‏، در بحث علّیت نقشی اساسی ایفا می کنند. از این رو برای مطالعه ساختار علّی فضا-زمان می توان مجموعه منحنی های علّی فضا-زمان و یا زیر مجموعه های خاصی از آن همچون مجموعه ژئودزی های علّی یا مجموعه ژئودزی های پوچ را مورد بررسی قرار داد و ساختار های مختلف هندسی را به آن ها نسبت داد. دو دیدگاه برای ساختن مجموعه منحنی های علّی‏، یا هر یک از دو زیر مجموعه مذکور آن‏، بیان شده است. در یک دیدگاه‏، متناظر با هر منحنی علّی‏، با راهبردی مناسب که در فصل اول بیشتر به آن پرداخته می شود‏، نقطه ای نسبت داده می شود و بعد از آن به مجموعه آن نقاط‏، ساختارهای توپولوژیک و دیفرانسیل پذیر داده می شود. در دیدگاه دیگر هر منحنی علّی به عنوان مجموعه ای از نقاط در نظر گرفته می شود و با استفاده از تعریف همگرایی میان این دسته از منحنی ها‏، توپولوژی خاصی روی مجموعه همه منحنی های علّی تعریف می گردد که در فصل چهارم این پایان نامه در مورد آن توضیح داده شده است.